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11-08
2021.05.16 03:06
그러니까... 이런 입체 도형을
이렇게 평면으로 바꾸는 연습을 해보셔야죠. ㅎㅎ;;
기하에 재능이 있다 없다를 이거 하나로 재단하기에는 무리가 있지 않을까요? 저게 쉽게 되느냐... 바로 저렇게 보여요 저는. 아무튼 저 입체 내부에 내가 들어간 후 점 A와 삼각형 BCD가 수직을 이루는 지점에 서서 점 A를 바라본다고 상상해 보세요. 그리고 눈을 내려서 360도 회전하며(또는 도형을 회전시켜서) 선이 그어진 걸 바라보는 거죠. 아니 자꾸 연습을 좀 해보세요. 뭐 고작 저거 한 번 해보고 재능이 없는 것 같다고 판단하시면 이상하잖아요;; ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
후딱 넓이로 갑시다 넓이. 연습을 하세요 제발! 포기하기에는 이르잖아요.
(그림 6)
기럭지보다는 그림이 약간 복잡해졌죠? 이제 원래 도형의 넓이와 정사영의 넓이에 대해 동시에 고민을 해보는 거예요.
(그림 6)의 삼각형 ABC 의 평면 α 위로의 정사영을 삼각형 A'B'C'라 하고, 평면 α 와 평면 ABC 가 이루는 각의 크기를 θ 라고 해보는 거예요. 그리고 변 BC 와 평면 α 가 평행한 경우에, 변 BC를 포함하고 평면 α 에 평행한 평면을 β 라고 하고, 점 A 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 H라고 해보죠.
그럼 평면 β 와 직선 AA'의 교점을 A"이라고 하면 '삼수선의 정리'에 의해서 가 되고 ∠ AHA"의 크기는 평면 α 하고 평면 ABC가 이루는 각의 크기하고 같아지겠죠? 그렇다면 가 나오죠.
여기서 삼각형 ABC와 삼각형 A'B'C'의 넓이를 각각 S, S'이라고 한다면,
이렇게 되겠네요.
그리고 S' = cos θ 는 변 BC 와 평면 α 가 굳이 뭐 꼭 평행하지 않더라도 성립해야겠죠. 아무튼 또 뭔가 끝난 거 같으니 정리 한 방 하고 넘어가도록 하죠.
정사영의 넓이
평면 β 위에 있는 도형의 넓이를 S라고 하고 이 도형의 평면 α 위로의 정사영의 넓이를 S'이라고 가정하고 두 평면 α, β 가 이루는 각의 크기를 θ 라고 한다면, S' = cos θ 가 성립한다.
이제 핵심에 다가서고 있어요. 우리가 지금까지는 빛이 물체 위에 수직으로 떨어지는 것만 봤잖아요? 근데 지금부터는 광원에 각도를 줄 거예요. 그럴 때 도형을 거쳐 바닥에 생기는 그림자를 살펴보는 거죠. 사고의 범위를 지금보다는 약간 확장시키는 거예요.
평면 α 에 평행한 평면 α 밖의 도형 P1 을 평행 이동하면 위와 같이 도형 P1에 비추는 평행 광선의 그림자인 P'1에 정확히 포개지도록 겹쳐 놓을 수 있죠.
따라서 P'1은 P1과 합동인 도형이 되고, P'1의 넓이는 P1의 넓이와 같다고 볼 수 있겠죠?
평면 α 밖의 도형 P2 에 수직으로 비추는 평행 광선의 그림자는 위의 그림과 같이 도형 P'2이 되죠. 이때 도형 P2를 포함하는 평면을 β 라 하면 평행 광선이 평면 β 에 수직이므로 평면 α 위의 도형 P'2의 평면 β 위로의 정사영은 P2 가 되겠죠.
따라서 원판 P2 의 넓이를 S2, P'2의 넓이를 S'2이라 하고 평행 광선과 평면 α 가 이루는 각의 크기를 θ 라고 한다면, 두 평면 α , β 가 이루는 각의 크기는 90˚- θ 가 되므로 에서 가 성립할 수 있겠네요.
구 P3 의 중심을 지나고 구에 비추는 평행 광선에 수직인 평면을 γ 라고 하죠. 그럼 평면 γ 에 의해 잘린 구의 단면 C 는 위의 그림과 같이 구 P3 와 지름의 길이가 같은 원이고 구 P3 에 비추는 평행 광선의 그림자는 원 C 에 비추는 평행 광선의 그림자와 같은 타원 P'3가 되겠죠.
그렇다면 원 C 의 넓이를 S3 , P'3의 넓이를 S'3라 하고, 평행 광선과 평면 α 가 이루는 각의 크기를 θ 라고 한다면..? 어떻게 될까요? ㅎㅎ 답은 뭐... 바로 위하고 똑같겠죠.
ㅇㅋㅇㅋ 2하고 3이 결국 같다는 걸 이해하셨으면 된 거예요. 구를 정확히 반으로 자른 단면과 그와 합동인 원이 있고 광원의 각도가 동일하다면, 둘의 그림자도 서로 같다는 거예요. ㅎㅎ
마지막으로 문제 하나 봅시다.
(그림 7)
(그림 7)과 같이 중심 사이의 거리가 √3이고 반지름의 길이가 1인 두 원판과 평면 α 가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 ℓ 은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 α 와 이루는 각의 크기는 60˚이다. 광선이 그림과 같이 평면 α 에 수직인 방향으로 비춘다고 가정했을 때, 두 원판에 의해 평면 α 에 생기는 그림자의 넓이를 구하라.
저걸 어떻게 하면 될까요?
일단 저 원형 판떼기 두 개를 평면 α 에 완전히 수직 방향으로 평행이동해서 두 원판이 서로 만나도록 하면 두 원판은 서로 다른 원판의 중심을 지나가게 포개지겠죠. 문장을 그림으로 표현한다면...
이런 식으로 나올 수 있겠죠. 그리고 두 원판의 넓이를 S, 아래 그림의 어두운 부분의 넓이를 S1이라고 치면?
이렇게 나오겠죠.
만약 그림의 오른쪽에서처럼 겹쳐진 두 개의 원을 위에서 바라본다면 어떻게 생겼을까요?
이렇게 생겼겠죠? 이거 막 분해해보고 싶어지게 생기지 않았어요? 그럼 해봐야죠. ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이렇게 가능하죠? 위에서 어두운 부분의 면적을 우리가 S1이라고 했잖아요. 그럼 그 중심각은? 2/3π겠죠 뭐. 맞죠?
바로 나오죠? 그렇다면,
이 성립하겠죠.
싹 다 나왔으니 이제 풀어버려야죠. ㄱㄱㅆ~
이걸 왜 설명했냐면... 일단 그림 하나 봅시다요.
그냥 얘만 놓고 보면 대체 이게 뭔가 하시겠지만,
이렇게 놓고 보면 확 와닿을 수도 있겠죠. ㅎㅎ ASML, EUV, Lithography라는 게 뭔지 정확히 모르시겠으면 한 번 찾아보세요. 물론 노광장비는 빛이 렌즈를 따라 굴절되고 반사되기도 해요. 그리고 그렇게 모인 빛을 이용해서 웨이퍼에 그림을 그리게 되죠. 하지만 우리가 지금까지 알아본 '정사영'이라는 원리를 아예 모르고 있었다면, 저희 회로 설계자들이 그린 도면을 레이아웃 따고 마스크로 떠서 리소그래피 장비에 넣고 웨이퍼에 새겨 칩으로 만드는 일련의 응용 과정은 아마도 불가능했을 거예요.
또... 게임을 만드는 '게임 엔진'이라는 소프트웨어가 있어요.
이게 언리얼(Unreal) 엔진을 실행시킨 화면이에요.
레이 트레이싱을 사물에 적용하고 익스포트한 화면이에요.
가만히 보면 반도체를 만드는 장비에서부터 게임을 만드는 소프트웨어까지 모두들 광선과 물체의 그림자를 상당히 비중 있게 다루고 있죠? ㅎㅎ 모두 필요해요. 괜히 쓸모없는 걸 학교에서 배우고 계신 게 아니라는 말이에요.
부디 재미와 재능을 찾아 원하시는 학교/학과에 진학해서 큰 꿈을 펼칠 수 있길 빌게요. 대신 공부 엄청 하셔야겠죠? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
행성: 우주인
포인트: 40,915 exp
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Disce ut semper victurus, vive ut cras moriturus.
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